LA SCIMMIA E LE NOCI DI COCCO

[adolfo]

Ecco il testo dell'indovinello, ho pedissequamente copiato il tutto da una pagina semplificando i termini numerici del problema:

Tre marinai naufragano su un'isola semideserta (semi-, perché c'è una scimmia).
Durante la giornata raccolgono un mucchio di noci di cocco, per dividersele tra di loro il giorno dopo.
Durante la notte, però, uno si sveglia e decide di prendersi la sua parte in anticipo: fa tre mucchi uguali, vede che avanza una noce, la dà alla scimmia e nasconde la sua parte.
Il secondo marinaio si sveglia poco dopo, va al mucchio (più piccolo) e fa esattamente la stessa cosa: anche stavolta rimane una noce per la scimmia.
Lo stesso fa il terzo marinaio: tutte le volte avanza una noce per la scimmia.
Il mattino dopo, tutti vedono che il mucchio è più piccolo, ma avendo la coscienza sporca stanno zitti. Fanno la divisione, e di nuovo avanza una noce data alla scimmia.
Qual è il numero minimo di noci che i marinai avevano raccolto?

Nota storica.
Questo problema è stato pubblicato (per la prima volta?) da Ben Ames Williams in The Saturday Evening Post nel 1926 e più recentemente ripreso da Martin Gardner nel libro Enigmi e giochi matematici 2°.

Fine del copia/incolla

[arizona1952]

Prima richiesta di chiarimento, rivolta dalla mia mente annebbiata:

. . . durante la notte, però, uno si sveglia e decide di prendersi la sua parte in anticipo: fa tre mucchi uguali, vede che avanza una noce, la dà alla scimmia e nasconde la sua parte.

Nel senso che "unifica" gli altri due mucchi?

Seconda richiesta di chiarimento, rivolta dalla mia mente afflitta:

Ho il libro citato, volume secondo. Com'è che non trovo questo problema?

Un caro saluto, Adolfo.


Paolo

[arizona1952]

Se ciascun marinaio, dopo aver "prelevato" un terzo del mucchio, mette insieme i cocchi restanti. . .

il numero minimo di cocchi raccolti dovrebbe essere 79.

Ma questo è il risultato di un vile calcolo empirico.
Mi piacerebbe sapere qual è il ragionamento e/o il calcolo corretto.

Paolo

[adolfo]

Complimenti a Paolo , che ha trovato la soluzione.
A questo punto posso provare a pubblicare il procedimento , o almeno quello
che io penso possa essere stato il ragionamento del primo ha trovato la soluzione senza ricorrere ad equazioni diofantee.
Qualche passaggio algebrico è però inevitabile , spero di non annoiare.
Sia N il numero che cerchiamo.
Traducendo in formule l'enunciato del gioco, N deve avere queste caratteristiche:
1) Diviso per 3 deve dare resto 1
2) Se tolgo 1 e moltiplico per 2/3 , cioè (N-1)*(2/3) che è la serie di manipolazioni fatte ad ogni passaggiom ottengo un nuovo numero intero che ha le stesse caratteristiche , questo per 4 volte consecutivamente.

La prima osservazione che si può fare è che la soluzione non è unica ma i numeri che soddisfano le
due caratteristiche si ripetono ogni 81 (3 alla quarta) numeri.

Infatti anche N + 81 rispetta le condizioni
(N + 81) diviso per 3 da resto 1,
una banale dimostrazione può essere questa:
poniamo N = 3a + 1 e quindi posso nell'espressione 3a + 1 + 81 raccogliere 3 a fattor comune ed avere
3(a + 27) + 1 che è evidentemente un numero che da resto 1.

Anche la seconda condizione è rispettata:
N + 81 è il numero che sto valutando.
Posso scomporre (N + 81 - 1)*(2/3) in
(N-1)*(2/3) + 81*(2/3) , la prima parte dell'espressione da come resto 1 perchè è la condizione dell'enunciato,
la seconda da resto 0 e quindi , per lo stesso motivo di prima , il tutto è un numero intero con resto 1.
Poichè 81 è divisibile 4 volte consecutivamente per 3 posso reiterare il ragionamento 4 volte.

Quindi , trovato un numero , trovati tutti.

La seconda osservazione che il nostro amico deve aver fatto è probabilmente questa:

astraendo il concetto e analizzandolo solo da un punto di vista algebrico , senza cioè pensare alla "fisicità"
delle noci di cocco , se esiste un numero che resta ugale a se stesso al termine di ogni passaggio
(per passaggio intendo la serie di manipolazioni della regola 2) , questo numero appartiene sicuramente
alla serie dei numeri solutivi perchè mi lascia sicuramente in condizione di ripetere le stesso passaggio la volta dopo.

Deve quindi essere (X-1)*(2/3) = X
Questa semplice equazione ha come soluzione -2 ( il nostro amico parla di "noci negative")

infatti se a -2 tolgo 1 vado a -3 e -3 * (2/3) da ancora -2.

-2 e' quindi uno dei numeri solutivi,

-2 + 81 (= 79) è un'altra soluzione , la prima positiva ed è quella richiesta.
79 + 81 = 160 è un'altra souzione che è quella proposta da Paola.

Ripeto , per me è un gioco un pò troppo "numerico" ma non brutto.

[Aurora]

Ho seguito le spiegazioni di Adolfo per la soluzione dell'indovinello..... e mi sono persa per strada......troppo ingegnoso .....
Avendo il libro citato, a pag.85, in coda alle spiegazioni all'arcano indovinello, c'è un semplice problema di noci, sempre relativo agli stessi 3 marinai e alla scimmia, che mi sembra divertente da risolvere per tentativi. Lo riporto pari pari:

"Tre marinai trovano un mucchio di noci di cocco. Il primo ne prende la metà più mezza noce. Il secondo prende metà di quello che è rimasto più mezza noce. Anche il terzo prende metà del rimanente più mezza noce. Rimane esattamente una noce che essi danno alla scimmia. Quante erano inizialmente le noci del mucchio?"

Il libro dà questa indicazione: Se vi procurate una ventina di fiammiferi, basteranno a una soluzione per tentativi.
Buon divertimento!
Aurora

[guidopatek]

???


senza fiammiferi mi vien da dire : 8 noci intere + 3 mezze noci ...

[arizona1952]

Quante erano inizialmente le noci del mucchio?"
Aurora

Alla scimmia ne è rimasta 1.

Il terzo marinaio ne aveva quindi a disposizione:
1 più una mezza, il tutto per 2, e cioè 3

Il secondo marinaio ne aveva quindi a disposizione:
3 più una mezza, il tutto per 2, e cioè 7

Il terzo marinaio ne aveva quindi a disposizione:
7 più una mezza, il tutto per 2, e cioè 15.

Aurora, dimmi se le luci colorate del tuo nome iniziano a schiarire la mia mente confusa.

O se è ancora buio fondo, in questi giochi che non so risolvere mai.

Paolo

[Aurora]

Bravo Paolo. Complimenti per la logica. Io c'ero arrivata a tentativi.
Aurora

[pacotti]

???


senza fiammiferi mi vien da dire : 8 noci intere + 3 mezze noci ...

quasi ....

visto che le mezze noci non esistono ... devono essere numeri interi ...

1 resta alla alla scimmia ...

la metà che spetta al terzo è quindi la metà del mucchio residuo : ( 1,5 + mezza noce "virtuale" = 2 ) di 2 +1 = 3

se ne restano 3 per la scelta dell'ultimo, il secondo che ha preso la metà + mezza noce ne ha prese 4, quindi il mucchio era di 7 ...

quindi 8+7 = 15 il numero iniziale ..

il primo ne ha presa la metà ( 7,5 ) + 0,5 = 8


15 - ( 1/2 (15) + 0,5 ) = 8, restano 7
7 - ( 1/2 (7) + 0,5 ) = 4, restano 3
3 - ( 1/2 (3) + 0,5 ) = 2, resta 1 per la scimmia

imho