I DIECI NANETTI ED I BERRETTI

[adolfo]

Mi è venuto in mente un vecchio problemino , come sempre conosciuto da qualcuno ma , spero , non da tutti.
Ve lo voglio proporre , sperando di fare cosa gradita agli appassionati del genere.
Come sempre vi invito a non pubblicare qui la soluzione per non rovinare agli altri il piacere di pensarci (unico vero scopo ).
nel problema originale si parla di orchi che mangiano nani ecc. , io l'ho addolcito senza cambiarne la logica.

Dunque:



Un re propone a dieci nani della sua corte un gioco e dice a loro:
"Vi farò sedere uno ad uno sui gradini di una scalinata in modo che il primo vede gli altri nove , il secondo vede gli altri otto ecc.
Metterò in testa ad ognuno di voi un berretto che può essere bianco oppure nero. Voi non vedete il vostro berretto.
A partire dal primo in sequenza chiederò a ciascuno quale è il colore del berretto che ha in testa.
L'interrogato potrà rispondere solo o bianco o nero , nessun altra parola o segnale o intonazione ecc. è ammessa.
Se indovina gli do 100 danari , se sbaglia il nano mi deve dare 100 danari.
Alla fine l'intera posta , in vincita o in perdita , sarà divisa in parti uguali fra voi.
Vi do un'ora di tempo per concordare una strategia."



I nani cominciano a pensare.

Uno propone:

"Il primo dice il colore del secondo , quindi il secondo indovina, il terzo dice il colore del quarto , che quindi indovina ecc., in questo modo cinque indovinano certamente e , se siamo fortunati , anche qualcuno degli altri può indovinare.
Male che vada facciamo una patta"

I nani approvano l'arguta stategia ,ma nano più arguto osserva:
"Io conosco una strategia che permette a molti più nani di dire in modo certo il colore del proprio berretto e , se siamo solo un pò fortunati, addirittura tutti i dieci nani possono indovinare"
Quale è la strategia?.

[adolfo]

La strategia proposta dal nano è sorprendente : ben nove nani determinano con certezza il colore del berretto!!
Il primo nano interpellato vede nove berretti , quindi o il numero dei berretti neri è pari e il numero di berretti bianchi è dispari o viceversa.
Il primo nano dovrà indicare il colore dei berretti dispari.
Supponiamo che dica NERO.
A questo punto il secondo nano interpellato è in grado di determinare il colore del suo berretto semplicemente contando i berretti neri davanti a sé: se sono pari per forza il suo deve essere nero , se sono dispari il suo è bianco.
Altrettanto semplicmente gli altri nani , in cascata , determinano il colore del proprio berretto sommando il numero di berretti neri che hanno davanti al numero di volte che hanno sentito rispondere NERO (esclusa la risposta del primo nano) e applicando la stessa regola.
Notevole.
Naturalmente è valido anche accordarsi per la strategia complementare , cioè il primo nanno indica il colore dei berretti pari.

Si può invece complicare un pò il rompicapo inventandosi la seguente variante:

Il re dice "Farò sedere ALCUNI di voi sulla scalinata". Cioè non si sa se sono pari o dispari i nani che parteciperanno al gioco.
Anche in questa variante , modifcando la trategia , tutti i nani escluso il primo sono in grado di rispondere con certezza (e , se è fortunato , anche il primo).
Chi ama questo tipo di indovinelli può divertirsi a definire la strategia.
Adolfo.